Asignaciones Semanales

Con el firme proposito de apostar al exito de los estudiantes y de manera de compromoterlos con su proceso de aprendizaje, y al hecho innegable de que los estudiantes son los responsables de su autogestión del aprendizaje, semanalmente se enviaran actividades para reforzar el conocimiento en aula, mediante la realización de ejercicios prácticos de los distintos métodos numéricos. Se publicaran semanalmente, modelos o guías para la realzaición de los mismos:





SEMANA 10. Ecuaciones Exponenciales y de Potencia y su linealización.

Son seis puntos que puedo ganar

Entregar la solución del siguiente problema:

Resuelva la siguiente ecuación empleando el método de Newton-Raphson, realice hasta la iteración i=6, calcule el error en cada iteración, utilice Xo=1.

Consideraciones generales:

- Fecha tope de entrega Miercoles 20MAY09 Hora 0:800 am.

- Equipo de dos estudiantes.

- Entregar los calculos realizados.

- Vaciar los resultados en una tabla.

- Recuerde emplear 5 cifras significativas y los resultados en radianes.

Noticia Importante Pasala.

Estimado estudiante, el dia lunes 11 y martes 12 de mayo se realizará la primera evaluación de tus habilidades para resolver ecuaciones no lineales en una variable y sistemas de ecuaciones lineales a través de los métodos numéricos vistos en clases.

Para ese día deberas llevar el siguiente material.
1.- Portafolio, el cual podras consultar.
2.- Lapiz, sacapuntas y borrados.
3.- Una calculadora.
4.- Hoja de examen.
5.- Descargar e Imprimir el siguiente archivo y llevarlo para el día de la evaluación.

Todas estas sugerencias, son importantes para ofrecerte el mayor nivel de comodidad durante tu evaluación.

Articulo Científico

“La palabra escrita y su significado para un científico”
Estimados estudiantes poco es el tiempo que nos queda de formación en nuestra carrera, debemos en el corto plazo documentar un trabajo de investigación o la labor realizada en una empresa en el área de desempeño de la ingeniería petroquímica. En el deseo de la universidad de formarlos y darles las herramientas necesarias para que culminen sus estudios de ingeniería, se ha preparado en la cátedra de Cálculo Numérico (Métodos Numéricos) una evaluación que empleara como estrategia la elaboración de un artículo científico, el cual será presentado en forma individual, sin embargo es potestativo que el mismo sea presentado por hasta dos autores, por supuesto, siempre que el mismo artículo por si solo justifique el hecho de la autoría múltiple.
Presentación:
Debe ser entregado en formato digital (Sin imágenes) y en formato escrito de acuerdo a la siguiente estructura:
1. Titulo.
2. Autor.
3. Resumen.
4. Palabras Claves.
5. Introducción.
6. Contenido del Artículo
7. Conclusiones.
8. Recomendaciones.
9. Referencia Bibliográfica.
El formato digital deberá ser entregado en un CD que debe contener a todos los trabajos de la sección a la cual pertenece, el archivo podrá ser en formato Word o OpenOffice, y el archivo debe ser llamado con el numero de cedula del autor sin puntos. En caso de ser dos autores deberá llamar al archivo con los dos números de cedula separados por el signo piso _, ejemplo:
Un Autor: 18987453.doc
Dos Autores: 12345678_9876542.doc
El formato impreso deberá ser entregado encuadernado en color Azul (Seccion MA) y en Amarillo (Seccion MB), tamaño carta, formato del texto libre y a doble columna. Máximo número de hojas 15, es deseable imprimir por ambas caras. Cumplir con las normas APA.

Preparandome para mi pronta evaluación

El objetivo en métodos numéricos es alcanzar los conocimientos, que permitan resolver situaciones en el resto de las asignaturas que involucren la solucion de problemas matemáticos. Sin embargo existe una forma de desmostrarlo, obteniendo un excelente rendimiento académico por medio de la nota.

Les presento una oportunidad de autoevaluarse, con una prueba de igual caracteristica a la que presentaran el proximo lunes y martes 11 y 12 de mayo.

Haga click en cada linea que desee descargar:
- Prueba Autoevaluación.
- Formato Métodos Cerrados.
- Formato Métodos Abiertos.
- Formato Método Gauss-Seidel.

Trabajo Propuesto

Analice cada uno de los ejercicios propuestos a continuación. Se recomienda una vez obtenida las funciones realizar la gráfica correspondiente a los fines de obtener el intervalo que encierra la solución o la solución inicial:

1) Un cable catenario es aquel que cuelga entre dos puntos que no estan en la misma línea vertical. Como se muestra en la siguiente figura.

No esta sujeto a cargas más que a su propio peso. Así que su peso w (N/m) actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable. Un diagrama de cuerpo libre de una sección AB se representa en la figura anterior b), donde TA y TB son las fuerzas de tensión en sus extremos. Considerando los equilibrios de fuerzas horizontal y vertical, se puede obtener el siguiente modelo de ecuación diferencial del cable:

El cálculo se utiliza para resolver esta ecuación para la altura y del cable en función de la distancia x.

donde el coseno hiperbólico se calcula por:
Con un método numérico calcule un valor para el parámetro TA dados los valores a los parámetros w=10 y y0=5, de tal forma que el cable tenga una altura de y=15 para x=50.

2.) En la parte a) de la figura siguiente, se muestra una viga uniforme sujeta a una carga distribuida creciente linealmente. La ecuación para calcular la curva elástica resultante es (vease figura b):

Utilice el método de la bisección para determinar el punto de máxima deflexión (es decir, el valor de x donde dy/dx=0). Después, sustituya este valor en la ecuación anterior para determinar el valor de máxima deflexión. Use los siguientes valores de los parametros en sus cálculos: 450 cm, E=50.000 kN/cm2, I=30.000 cm4 y w0=1,75 kN/cm.

Gráficar

En la mayoría de los problemas donde se desea determinar la solución de una ecuación no lineal, gráficar la ecuación, ofrece una ventaja importante al poder observar la o las soluciones, además de que es un buen mecanismo para obtener el intervalo de solución, o una solución inicial aproximada.

Si desea descargar un software de gráficar haga click AQUI.

Pruebe con las funciones vista en clases.

Que son los Métodos Numéricos (MN)

Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas (llevan a cabo un buen número de cálculos aritmético). La disponibilidad de Computadores Personales (PC) y su asociación con los MN han tenido una influencia muy significativa en el proceso de solución de problemas.
Aplicar MN implica:
1.- Resolver problemas matemáticos, científicos y de ingeniería en una PC.
2.- Escribir programas y resolverlos en una PC.
3.- Usar correctamente el software existente para dicho método.

Objetivos de los MN

- Aplicar los MN en una PC.
- Desarrollar programas aprendiendo los MN.

Historia

Antes del uso o aparición de la PC, habían 3 métodos diferentes que se aplican a la solución de problemas:
1.- Usando Métodos exactos o analíticos (éstos tienen un valor práctico limitado ya que son aplicables a una clase limitada de problemas).
2.- Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas (resultados no muy precisos, tediosos y difíciles de implementar sin ayuda de una PC).
3.- Para implementar los MN se utilizaban calculadoras manuales y reglas de cálculo (son tediosos, lentos y no existen resultados consistentes). Antes de la aparición y uso del PC se gastaba mucha energía en la técnica misma de solución, en lugar de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación.

Importancia de los MN

- Son herramientas extremadamente poderosas para la solución de problemas (capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes).
- El uso inteligente del programas especializados en MN depende del conocimiento de la Teoría básica en la que se basan estos métodos.
- Los MN implican programación en una PC (Capacidad de diseñar programas propios)
- Los MN son una herramienta eficiente para utilizar PC (en su mayoría están elaborados sus algoritmos para su implementación )
- Los MN son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas (una función es la de reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas).
- Se analizarán las causas principales de errores en los MN. Estos son temas preparatorios para el cálculo numérico.
- Con el objeto de explicar las causas de estos errores se examinaran las Series de Taylor y como se calculan y almacenan los números en las PC.
- Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo.
- Error Truncamiento: Se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo ( la serie de Taylor es el medio mas importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento)
- Error de Redondeo : se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC).

MATRICES, Repaso

Fuente: De Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Definiciones y notaciones

Una matriz es una tabla rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dicen que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.
Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

Ejemplos:

La matriz

es una matriz 4x3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.

La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

Operaciones básicas

Suma

Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Propiedades:
- Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
- Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B
A + B = B + A
-Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
-Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0

Producto por un escalar

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ).
Ejemplo:

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.
Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.
Asociatividad: (cd)A = c(dA)
Elemento Neutro: 1·A = A
Distributividad:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA

Producto

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matrices A and B dando como resultado la matriz AB.
Artículo principal: Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.

Por ejemplo:

Propiedades
Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

-Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
-Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
-Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

Aplicaciones lineales

Las matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como "transformaciones lineales") entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si Rn es el espacio euclídeo n-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicación lineal f : Rn → Rm existe una única matriz A m por n de tal forma que

para cada vector x de Rn.
Se dice que la matriz A "representa" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f.
El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m B representa otra aplicación lineal g : Rm → Rk, entonces la composición g o f se representa por BA:

Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices.
Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial n-dimensional en otro espacio vectorial m-dimensional (no necesariamente Rn) se representa por una matriz m por n, a condición de que se haya elegido una base para cada uno de ellos.

Rango

Artículo principal: Rango de una matriz
El rango de una matriz A es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por A, que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de A. También puede ser definido sin referencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz m por n A es el más pequeño número k de tal manera que A puede escribirse como un producto BC donde B es una matriz m por k y C es una matriz k por n (aunque ésta no es una manera práctica de calcular el rango).

Transpuesta

Artículo principal: Matriz transpuesta
La transpuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m AT (algunas veces denotada por At) formada al intercambiar las filas y columnas, i.e.

La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

Si A describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz AT describe la transpuesta de una aplicación lineal respecto a las bases del espacio dual.
Matrices cuadradas y definiciones relacionadas
Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.
M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.
La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.
Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que
AB = In = BA.
En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.
Si λ es un número y v no es un vector nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo que sucede si y sólo si pA(λ) = 0, donde pA(x) es el polinomio característico de A. pA(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.
El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definida por la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.
El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.
Clases de matrices
Algunas matrices presentan características particulares en la posición o en la naturaleza de sus elementos. Muchas de ellas son tan importantes en la teoría y en las aplicaciones, que han recibido denominaciones específicas.
Matriz antisimétrica
Matriz banda
Matriz cuadrada
Matriz de adjuntos
Matrices elementales
Matriz definida positivamente
Matriz diagonal
Matriz de diagonal estrictamente dominante
Matriz hermítica
Matriz idempotente
Matriz identidad
Matriz inversa
Matriz invertible
Matriz involutiva
Matriz jacobiana
Matriz nilpotente
Matriz no singular
Matriz normal
Matriz nula
Matriz ortogonal
Matriz permutación
Matriz simétrica
Matriz singular
Matriz traspuesta
Matriz triangular (superior o inferior)
Las matrices en la Computación
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.
Historia
El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.[1]
Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[2] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.
Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).[1]
Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.
El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.
Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
Referencias Bibliográficas
↑ a b Swaney, Mark. History of Magic Squares.
↑ Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary. Oxford University Press. cited by Otto Bretscher (2005). Linear Algebra with Applications, 3rd ed. edición, Prentice-Hall, págs. p. 1.

Una nueva etapa en mi formación profesional

Quisiera dar mis palabras de bienvenida con un pequeño y simpatico relato:

IMAGINAR UNA SOLUCIÓN

En una tarde nublada y fría, dos niños patinaban
sin preocupación sobre una laguna congelada. De repente el hielo se rompió, y
uno de ellos cayó al agua. El otro cogió una piedra y comenzó a golpear el hielo
con todas sus fuerzas, hasta que logró quebrarlo y así salvar a su amigo.
Cuando llegaron los bomberos y vieron lo que había sucedido, se preguntaron:
" Cómo lo hizo? El hielo esta muy grueso, es imposible que haya podido quebrarlo
con esa piedra y sus manos tan pequeñas..."
En ese instante apareció un
abuelo y, con una sonrisa, dijo:
- Yo sé cómo lo hizo.
- Cómo? - le
preguntaron.
- No había nadie a su alrededor para decirle que no podía
hacerlo.

Einsten dijo: Si lo puedes imaginar, lo puedes lograr.

Tomado de: La culpa es de la vaca. Anécdotas, parábolas, fábulas y reflexiones sobre el liderazgo. Compiladores: Jaime Lopera Gutierrez y Marta Inés Bernal Trujillo. Intermedio Editores.